已知函数f(x)=x|x-4|-5,当方程f(x)=a有三个根时,求实数a的取值范围?

f(x)=x|x-4|-5
当x>4时，f(x)=x(x-4)-5=(x-2)²-9,
f(x)在区间[4,+∞)上是单调递增的最小值f(4)=-5；
当x≤4时，f(x)=x(4-x)-5=-(x-2)²-1,
f(x)在区间(-∞,2)上单调增，在区间[2,4)上单调递减,最大值f(2)=-1,且f(0)=f(4)=-5
所以当a∈(-5,-1)时，方程f(x)=a在区间(0,4)上有两个根，在区间(4,+∞)上有一个根，符合题意。

讨论去绝对值
画出函数图像
看函数图像和直线y=a有三个交点时a的范围

分x>4和x<4两种情况讨论，构成分段函数。然后画出图像，可以看出：在-9<a<-5时，这个方程有三个根。

解：当x≤4时，f(x)=x|x-4|-5=-x^2+4x-5=-(x-2)^2-1 (当x=4时，f(x)=-5)在定义域上有增有减，当x=2时，f(x)最大值=-1
当x>4时，f(x)=x|x-4|-5=x^2-4x-5=(x-2)^2-9 (当x=4时，f(x)=-5)在定义域上单调递增
故考察函数y=a的图象与已知函数的图象的关系可得
-5<a<-1